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{Dibujo.jpg}

Se trata de hallar ΔV para Δr = 9 m, para lo cual hallaremos ΔV ≈ dV = V´(r) . dr = 4π.r² . dr = 4π.81.0,15 = 152,681403 m³
Ejercicio:
un problema del tipo de cada de los 2tipos problemas vistos .
Observación : Ningun integrante de un grupo, ni entre grupos debe repetir los enunciados.

{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bdf(x)%7D%7Bdx%7D%3D%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7B%5CDelta%20x%20%5Cto%20%5C%200%7D%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D}
con
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bh%20%5Cto%20%5C%200%7D%20r(h)%3D0} eq=mathop{lim}limits_{h to 0} r(h)=0
Definición.- Si la función f es derivable en el punto x, se llama diferencial de la función f y se representa por dy a la expresión : dy = f ´(x) . Δx .
Si aplicamos la definición a l a la función y = x, tendremos:
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x%2Bh)-f(x)%3Dh.%5Cfrac%7Bdf(x)%7D%7Bdx%7D%2Bh.r(h)}
satisface
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bh%20%5Cto%20%5C%20%200%7D%5Cfrac%7Br(h)%7D%7B%2Fh%2F%7D%3D0}
Teorema:- Una función f(x) es diferenciable en un punto si y solo si es derivable en dicho punto .
Ejercicios
1.- Desarrollar la el siguiente ejercicio en su cuaderno Aplicando la expresión dy=f ´(x).dx para hallar la diferencial de las funciones que siguen, en el punto x y para el valor dx que se indica en cada caso, y a continuación halla Δy. Compara ambos valores:
y
f(x)f(x) =7x³, x dx = 0,001=
y
g(x)0,001
g(x) = x.sen dx = 0,001=
y
h(x)0,001
h(x) = 1+Lnx dx = 0,01= 2.-0,01
2.- Un elijan

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
APLICACIÓN A:
En En la expresión
Δy = f(a+Δx) - f(a) ≈ f ´(a).Δx, de donde
f(a+Δx) ≈ f(a) + f ´(a).Δx = f(a) + dy ,
determinado Δx=h.
Ejemplo1:Hallar un valor aproximado de 0,82² .
solución
solución :
El volumen de una esfera es:
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=V%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5CPi%20r%5E%203%20%0A} eq=V=frac{4}{3}Pi r^ 3
Se trata de hallar ΔV para Δr = 9 m, para lo cual hallaremos ΔV ≈ dV = V´(r) . dr = 4π.r² . dr = 4π.81.0,15 = 152,681403 m³
Ejercicio:

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
APLICACIÓN A:
En la expresión Δy = f ´(x).Δx + r(h) .Δx, podemos escribir Δy = f(x+Δx) - f(x) y prescindir del sumando r(h).Δx, con lo que nos queda, para un valor fijo x = a,
Δy = f(a+Δx) - f(a) ≈ f ´(a).Δx, de donde
f(a+Δx) ≈ f(a) + f ´(a).Δx = f(a) + dy ,
igualdad que es útil para obtener valores aproximados de f para valores próximos a x=a es decir de f(a+h), utilizando para ello f(a) y dy= df(a) con un determinado Δx=h.
Ejemplo1:Hallar un valor aproximado de 0,82² .
solución
Consideremos la función f(x) = x², el valor a = 0,8 y el Δx = 0,02:
0,82² = f(0,8 + 0,02) ≈ f(0,8) + f´(0,8) . 0,02 = 0,64 + 2.0,8.0,02 = 0,672
APLICACIÓN B:
podremos sustituir Δy=f(a+Δx) - f(a) por dy en las condiciones adecuadas, con el objeto de simplificar el problema.
ESTO ES :
Δy = f(a+Δx) - f(a) ≈ f ´(a).Δx
Ejemplo2:
Un depósito tiene forma de esfera de 9 m de radio. Estimar cuánto aumentará el volumen del depósito si el radio aumenta 15 cm.
solución :
El volumen de una esfera es:
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=V%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5CPi%20r%5E%203%20%0A} eq=V=frac{4}{3}Pi r^ 3
Se trata de hallar ΔV para Δr = 9 m, para lo cual hallaremos ΔV ≈ dV = V´(r) . dr = 4π.r² . dr = 4π.81.0,15 = 152,681403 m³
Ejercicio:
Cada miembro del grupo enunciara y resolvera un problema del tipo de cada uno de los 2 vistos .
Observación : Ningun integrante de un grupo, ni entre grupos debe repetir los enunciados.

satisface
Teorema:- Una función f(x) es diferenciable en un punto si y solo si es derivable en dicho punto .
Ejercicios
1.- Desarrollar la el siguiente ejercicio en su cuaderno Aplicando la expresión dy=f ´(x).dx para hallar la diferencial de las funciones que siguen, en el punto x y para el valor dx que se indica en cada caso, y a continuación halla Δy. Compara ambos valores:
y
f(x) =7x³, x = 2 , dx = 0,001=
y
g(x) = x.sen x , x = π/4, dx = 0,001=
y
h(x) = 1+Lnx , x = 3 , dx = 0,01= 2.- Un elijan representante del grupo para presentara la respuesta en wiki.

Según la definición, dy = f ´(x) . Δx = x´. Δx = 1 . Δx = Δx
En consecuencia, dx = Δx, es decir, la diferencial de la variable independiente coincide con el incremento de dicha variable.
la derivada: f ´(x) = dy
dx
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f%5Cprime(x)%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D} .
Definición.- Diremos que una funcion es diferenciable si el residuo de f(x) dado r(h)
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x%2Bh)-f(x)%3Dh.%5Cfrac%7Bdf(x)%7D%7Bdx%7D%2Bh.r(h)}
satisface
Teorema:- Una función f(x) es diferenciable en un punto si y solo si es derivable en dicho punto .

con
{http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bh%20%5Cto%20%5C%200%7D%20r(h)%3D0} eq=mathop{lim}limits_{h to 0} r(h)=0
SiDefinición.- Si la función . Δx .
Si aplicamos la definición a l a la función y = x, tendremos:
Por un lado, obviamente dy = dx
Según la definición, dy = f ´(x) . Δx = x´. Δx = 1 . Δx = Δx
En consecuencia, dx = Δx, es decir, la diferencial de la variable independiente coincide con el incremento de dicha variable.
Observación:- dy = f ´(x) . dx , que nos proporciona la conocida notación de Leibnitz para la derivada: f ´(x) = dy
dx